L’idea di base è abbastanza semplice e rientra nella categoria dell’uovo di Colombo: prendiamo, ad esempio, il campo di numeri da 1 a 210; quanti sono i composti multipli di 2? Ovviamente 210/2. E quanti sono i multipli di 3? Ovviamente 210/3. Se sommo questi due risultati, ho i composti multipli di 2 e di 3. Ma quante volte ho contato doppio un composto multiplo di 2 o multiplo di 3 nella somma risultante? Semplice! 210/(2*3) che vado a sottrarre alla somma. Se ripeto l’esercizio per tutte le coppie di combinazioni di numeri primi (2-3, 2-5, 2-7, 2-11, 2-13, 3-5, …, 11-13, 13-13), ho il numero di composti tra i cui fattori ci sono singoli numeri primi o coppie di numeri primi. Ma non ho ancora considerato i composti formati da tre numeri primi come fattori. Allora comincio a sommare, al risultato precedente, 210/(2*3*7) e poi 210/(2*3*11) e poi ancora 210/(2*3*13) e così via per tutte le combinazioni di triplette di numeri primi. Consideriamo, solo ad esempio, le due triplette iniziali: quante volte ho contato doppio un composto dei tre fattori nelle due combinazioni utilizzate? Semplice; 210/(2*3*7*11). Quindi vado a sottrarre questo risultato. E così via per tutte le combinazioni di primi. Morale della storia? Quando il conteggio dei composti è effettuato dividendo un solo numero primo, oppure tre numeri primi, oppure cinque numeri primi, ovvero un numero di numeri primi dispari, il risultato della divisione deve essere sommato: a questa somma deve essere sottratto il risultato di tutte le divisioni in cui la combinazione di fattori primi al divisore è pari ovvero le coppie di numeri primi, le quadruple di numeri primi, le sestuple, etcetera. Alla fine, al calcolo dei “non primi” bisogna aggiungere il numero speciale “1” mentre bisogna sottrarre 1 per ogni numero primo considerato (nel campo 1-210 vedremo perché i numeri primi considerati vanno da 2 a 13). Rimane solo da stabilire quanti numeri primi bisogna includere nelle combinazioni del calcolo: come nei recenti crivelli di tendenza, la radice quadrata di 210 (pari a 14,49) rappresenta il limite dei numeri primi da considerare; il numero primo prossimo inferiore a 14 è pari a 13. Infatti 13*13=169 che è dentro il campo mentre 17*17=289 che è fuori dal campo. Ma questo vuol dire che tutti i multipli di 17 sono tutti fuori dal campo 1-210? Ovviamente no ma li abbiamo gia conteggiati nei composti di 2, così come nei composti di 3 e nei composti di 2*3, etcetera! Quindi il 17 non deve essere considerato nelle combinazioni dei fattori così come il 19 e tutti i numeri primi superiori a 13. Perchè possiamo affermare che tutti i composti nel campo 1-210 hanno almeno un fattore primo che va da 2 a 13. Nel campo 1-210 non esiste un composto che abbia un fattore primo maggiore di 13 ma che non abbia, contemporaneamente, un altro fattore primo inferiore o pari a 13. Utilizzando, nel calcolo, tutte le combinazioni di composti con fattori che vanno da 2 a 13, abbiamo quindi incluso nel calcolo tutti i composti presenti nel campo 1-210.
Per inciso, il numero di primi nel campo 1-210 è pari a 46. Se volete comprendere, con una grafica colorata, come funziona l’algoritmo, potrete scaricare un foglio .pdf dal seguente link …
http://www.vincs.it/upfiles/HowManyPrimesCalculatingComposites%20-%2020160709%20-%20EN.pdf

Se volete calcolare con precisione il numero di primi in qualunque campo di numeri da 1 fino a 10000000 (dieci milioni) potete scaricare la calcolatrice ad uso gratuito VincSCalc ed utilizzare le funzioni πc (pigreco calcolo), in basso a destra nella tastiera, dopo aver scelto da menù CalcSettings/DataType/BigInt …
http://www.vincs.it/VincSCalc

Se invece volete scoprire il mondo dei numeri primi ed in particolare un nuovo teorema originale da cui scaturisce un test di primalità ed il suo crivello, visitate il mio sito http://www.vincs.it/ Grazie a tutti i visitatori.