Il Teorema di VincS

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Ci sono infiniti numeri primi nella forma 6k+1? / Are there infinite prime numbers like 6k+1?

Il mio primo post riguarda la possibilità o meno di dimostrare che i numeri primi nella forma esclusiva 6k+1 sono infiniti. Ho cercato in rete questa dimostrazione ma non sono riuscito a trovarne traccia. Poi, frequentando il forum di Matematicamente, sono stato ottimamente indirizzato verso il teorema di Dirichlet. Ho sviluppato però una dimostrazione alternativa (stile Euclide dei poveri) che voglio sottoporre alla vostra attenzione. Ma partiamo dall’inizio!

Dando come assioma che 2 è il primo dei numeri primi, si dimostra facilmente che 3 è il successivo numero primo (crivello di Eratostene, crivello di VincS, etc.). Ci basta conoscere questi due numeri primi per dimostrare che tutti gli altri numeri primi > 3 possono essere (non è corretto dire sono) solo nella forma 6k±1 (dove k è un numero qualsiasi). Esistono in rete centinaia di dimostrazioni ma è facile constatare che in 6k+0 si può raccogliere sia il 2 sia il 3, in 6k+2 si può raccogliere il 2, in 6k+3 si può raccogliere il 3 e che in 6k+4 si può raccogliere sempre il 2.

Sappiamo come Euclide ha dimostrato che i numeri primi sono infiniti e come questo abbia qualcosa a che fare con il primoriale+1. Lo stesso ragionamento (anche se questo non è molto pubblicizzato) si può estendere a primoriale -1.

Sappiamo ovviamente che  (+1)*(+1)=(+1), (+1)*(-1)=(-1), (-1)*(+1)=(-1), (-1)*(-1)=(+1). Questo vuol dire, ad esempio, che un numero primo nella forma 6y-1 moltiplicato per un numero primo nella forma 6x-1 produce un numero composto (detto anche semiprimo) nella forma 6z+1: concretamente; (6*1-1)*(6*2-1)=5*11=55 … 55=54+1=6*9+1. Così come, ad esempio, che un numero primo nella forma 6y+1 moltiplicato per un numero primo nella forma 6x-1 produce un numero composto (detto anche semiprimo) nella forma 6z-1: concretamente; (6*2+1)*(6*3-1)=13*17=221 … 221=222-1=6*37-1.

Tutto questo mi porta a concludere che è facilmente dimostrabile che i numeri primi nella forma 6k-1 sono infiniti conseguenza del fatto che o primoriale-1 è esso stesso un numero primo oppure, se non lo è, almeno uno dei fattori deve essere un numero primo nella forma 6k-1 (ovviamente diverso da quelli che compongono il primoriale). La stessa cosa non vale per primoriale+1 che potrebbe essere primo oppure essere composto ed avere un numero di fattori primi in quantità pari tutti nella forma 6k-1 (ovviamente tutti diversi da quelli che compongono il primoriale).

Potrebbe quindi esserci un numero finito di primi nella forma 6k+1? No! La quantità di numeri primi nella forma 6k+1 è infinita così come la quantità di numeri primi nella forma 6k-1. Ecco qui sotto la dimostrazione da Euclide dei poveri.

Per dimostrare quanto sopra devo prima dimostrare che tutti i numeri composti nella forma 6k±1 hanno solo fattori nella forma 6k±1.  Se il numero è composto vuol dire che si può scomporre in fattori primi. Tutti i numeri primi sono nella forma 6k±1 (eccetto il 2 ed il 3 che però sono fattori del 6 e quindi non possono essere fattori del numero composto nella forma 6k±1). Perciò tutti i numeri composti nella forma 6k±1 hanno solo fattori nella forma 6k±1.

Ora ammettiamo che i numeri primi nella forma 6k+1 sono in quantità finita. Abbiamo invece visto come sia facile dimostrare che i numeri primi nella forma 6k-1 sono in quantità infinita. Constatiamo che le combinazioni di moltiplicazione (+1)*(+1)=(+1), (+1)*(-1)=(-1), (-1)*(+1)=(-1), (-1)*(-1)=(+1) sono in assoluto equilibrio di risultato tra +1 e -1. Se fosse vero quello che abbiamo ammesso, prendendo tutte le possibili combinazioni di moltiplicazione dei primi nella forma 6k±1, dobbiamo quindi aspettarci che i numeri composti nella forma 6k-1 siano in quantità nettamente (infinitamente) superiore ai numeri composti nella forma 6k+1. Aggiungendo anche la nostra ipotesi di partenza, ovvero che la quantità di numeri primi nella forma 6k+1 è finita, avremo che in generale i numeri nella forma 6k-1 siano in quantità assolutamente (infinitamente) maggiore rispetto ai numeri nella forma 6k+1 il che è un assurdo visto che, nella sequenza dei numeri naturali che va da 1 ad infinito, per ogni numero 6x-1 esiste un corrispondente 6x+1 (coppia di numeri adiacenti a 6x). Abbiamo così dimostrato che i numeri primi nella forma 6k+1 devono essere anch’essi in quantità infinita! Proprio da Euclide dei poveri.